不等式和不等式组

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不等式基础概念

不等式是用符号"<"、">"、"≤"或"≥"连接两个代数式,表示它们之间的大小关系。

示例:汽车行驶问题

一辆汽车在高速公路上匀速行驶,6:00时汽车距前方的A地210 km,汽车要在8:00之前驶过A地,车速应满足什么条件?

设车速为 \( x \) km/h,则:

从时间角度:\( \frac{210}{x} < 2 \)

从路程角度:\( 2x > 210 \)

不等式表示练习

不等式的解与解集

使不等式成立的未知数的值称为不等式的

一个不等式的所有解组成这个不等式的解集

例如:不等式 \( 2x > 210 \) 的解集是 \( x > 105 \)。

不等式的性质

性质1:加减性质

不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变。

如果 \( a > b \),那么 \( a + c > b + c \)。

性质2:乘除正数

不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变。

如果 \( a > b \),\( c > 0 \),那么 \( ac > bc \)。

性质3:乘除负数

不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。

如果 \( a > b \),\( c < 0 \),那么 \( ac < bc \)。

解一元一次不等式

解一元一次不等式的一般步骤:

  1. 去分母
  2. 去括号
  3. 移项
  4. 合并同类项
  5. 系数化为1(注意:当系数为负数时,不等号方向改变)

解不等式演示

示例:实际问题

七年级举办古诗词知识竞赛,共有20道题,每一题答对得10分,答错或不答都扣5分。如果规定初赛成绩超过90分晋级决赛,那么至少要答对多少道题才能成功晋级?

一元一次不等式组

由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组。

不等式组中所有不等式的解集的公共部分,叫做这个不等式组的解集。

解不等式组演示

实际问题:抽水问题

某工程队用每小时可抽30 t水的抽水机来抽污水管道里积存的污水,估计积存的污水超过1200 t而不是1500 t,求将污水抽完所用时间的范围。

设用x小时将污水抽完,则x同时满足:

\( 30x > 1200 \) 和 \( 30x < 1500 \)

解得:\( 40 < x < 50 \)

互动练习

练习1:用不等式表示

a与15的和大于27

练习2:解不等式

解不等式:\( 3x - 5 < 10 \)

练习3:不等式组

解不等式组:

\( \begin{cases} 2x - 1 > x + 1 \\ x + 8 < 4x - 1 \end{cases} \)

练习4:实际问题

某商店以每辆340元的进价购入一批自行车共150辆,并以每辆450元的价格销售。两个月后,自行车的销售额已超过这批自行车进货的总费用,这时至少已售出多少辆自行车?

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